高一数学期中考前，集合和基本不等式是关键得分点，也是不少同学容易丢分的地方。一个靠"画图"，一个靠"凑形"，核心都是把抽象问题转化成看得见摸得着的形式。
一、集合运算：把符号翻译成"图"和"话"
很多同学看到 ∩、∪、∁ 就头大，其实它们的意思很直白：
符号 中文名 大白话翻译
A∩B 交集 既在A里，又在B里 → 找"共同"
A∪B 并集 只要在A里或在B里 → 要"全部"
∁UA 补集 在U里但不在A里 → 找"剩下的"
1. 三步解题法：画数轴 → 找重叠 → 写区间
遇到不等式集合（如 A = {x | 3 ≤ x < 7}），一定要画数轴。
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步骤1：画数轴，标出范围
A: 3 ≤ x < 7
——[3—————7)——
步骤2：再画第二个集合B（如 B = {x | 5 < x ≤ 9}）
B: (5—————9]
——(5—————9]——
步骤3：找交集 = 重叠部分，并集 = 覆盖全部
A∩B = {x | 5 < x < 7} （取重叠）
A∪B = {x | 3 ≤ x ≤ 9} （取全部）
一个关键提醒：数轴上的端点，≤ 或 ≥ 用实心点（●，包含），< 或 > 用空心圈（○，不包含）。补集运算时，原来没有等号的地方，补集往往会加上等号。
2. 常考选择题速算口诀
交集取相同，并集取全部，补集取剩下，空集是空气
空集 ∅ 是高频陷阱，记住两条：
A∩∅ = ∅ （空集和谁交都是空）
A∪∅ = A （空集并上还是本身）
3. 集合的"三性"——解含参题的关键
集合元素有三个性质：确定性、互异性、无序性。其中互异性是出题人最爱挖的坑：
已知 A = {x, xy, lg(xy)}，B = {0, |x|, y}，且 A = B，求 x+y。
解题思路：
B中有0 → A中必有0 → 观察A只有 lg(xy) 可能为0 → lg(xy)=0 → xy=1
用互异性检验：若 x=1，则 y=1，A = {1, 1, 0}，元素重复 → 矛盾
所以 x < 0，推得 x=y，结合 xy=1 → x=-1，y=-1，x+y=-2
💡 记佳格言：做集合题，先想"三性"——元素有没有重复？边界带不带等号？
4. 子集个数的"2^n"法则
含n个元素的集合，子集总数：2ⁿ
真子集（去掉本身）：2ⁿ − 1
非空真子集（再去掉空集）：2ⁿ − 2
例：{a, b} 有 2² = 4 个子集：∅, {a}, {b}, {a,b}
二、基本不等式：牢记"一正二定三相等"
基本不等式：若 a > 0，b > 0，则 a + b ≥ 2√(ab)，当且仅当 a = b 时取等。
1. 口诀："一正、二定、三相等"
条件 含义 易错点
一正 a、b必须为正数 很容易忽略负号，用前先验证
二定 积或和为定值 需要通过配凑创造定值
三相等 验证a=b能否取到 求完最值后必须检验
⚠️ 90%的扣分都出在没验证"三相等"！求完最值一定要问自己：能取等吗？
2. 三种核心凑形技巧
技巧1：分离常数（分子分母齐次）
求 y = (x² + 4)/x（x > 0）的最小值
解法：y = x + 4/x ≥ 2√(x·4/x) = 4，当且仅当 x = 4/x 即 x = 2 时取等。
技巧2：凑系数（和为定值）
已知 x > 0，求 y = x(6 - 2x) 的最大值
解法：y = 2·x(3 - x) ≤ 2·[(x + 3 - x)/2]² = 2·(3/2)² = 4.5，当 x = 3 - x 即 x = 1.5 时取等。
技巧3："1"的代换（最常考）
已知 x > 0，y > 0，且 2/x + 1/y = 1，求 x + 2y 的最小值
解法：
text
x + 2y = (x + 2y)·1 = (x + 2y)·(2/x + 1/y)
= 2 + x/y + 4y/x + 2
= 4 + (x/y + 4y/x)
≥ 4 + 2√(x/y · 4y/x) = 4 + 4 = 8
当 x/y = 4y/x 即 x = 2y 时取等，代入原式得 x = 4，y = 2。
💡 识别标志：看到条件中有 1/a + 1/b = 1 或 a + b = 1，马上想到把目标式乘以这个"1"。
3. 证明题模板：拼凑相加法
已知 a, b, c > 0，求证：a + b + c ≥ √(ab) + √(bc) + √(ca)
证明：
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a + b ≥ 2√(ab) （当 a=b 取等）
b + c ≥ 2√(bc) （当 b=c 取等）
c + a ≥ 2√(ca) （当 c=a 取等）
三式相加：
2(a + b + c) ≥ 2(√ab + √bc + √ca)
∴ a + b + c ≥ √ab + √bc + √ca
当 a = b = c 时取等。
4. 三元基本不等式（进阶，选填题速算）
当 a, b, c > 0 时：a + b + c ≥ 3·³√(abc)，当且仅当 a = b = c 时取等。
应用示例：x > 0 时求 x² + 2/x 的最小值
拆成三项：x² + 1/x + 1/x ≥ 3·³√(x²·1/x·1/x) = 3
当 x² = 1/x 即 x = 1 时取等
三、集合与不等式的交汇（拉分题）
期中考最后一道选择题常考这种形式：
已知集合 A = {x | x > 0}，B = {x | x² - 5x + 6 ≤ 0}，求 A∩B。
解法：解不等式 x² - 5x + 6 ≤ 0 → (x-2)(x-3) ≤ 0 → B = [2, 3] → A∩B = [2, 3]
💡 这类题本质是"不等式解集 + 集合运算"的综合，先解不等式，再画数轴找交并。
四、考前速记卡（建议截图保存）
集合
考点 方法 易错
交集/并集 画数轴/韦恩图 端点等号
补集 原取反 无等号变有等号
子集个数 2ⁿ 别忘了空集
互异性 检验元素重复 含参题必验
基本不等式
条件 方法 易错
一正 a,b > 0 负数要提负号
二定 凑积或和为常数 不会凑时试试"1"的代换
三相等 解方程求等号成立条件 必验！必验！必验！
编辑者：北京家教中心（www.bsdjjzx.com)